現在価値の計算

年金型投資商品の価値の求め方

2009-10-31T19:53:23+09:00

年金型投資商品（annuity）とは、特定の期間、毎年一定額の支払いが行われる資産である。定額返済の住宅ローン債権や割賦契約は、よくみられる年金型投資商品の例である。

年金型投資商品の価値を求める簡単な工夫を表している。第一番目の行は1年目から始まって毎年Ｃキャッシュフローを生む永久債を表す。その現在価値は、

現在価値（ＰＶ）＝Ｃ/ｒ

となる。

2番目の行は、ｔ+1年目から始まって毎年Ｃのキャッシュフローをもたらす2つ目の永久債を表わす。ｔ年目の現在価値がｃ/ｒとなるので、この投資商品の今日の時点の現在価値は、

現在価値（ｐｖ）＝Ｃ/ｒ（1）+ｒ）ｔ

となる。どちらの永久債にもT+1年目以降のキャッシュフローがある。2つの永久債の唯一の違いは、1番目のものには1年目からＴ年目までのキャッシュフローもあることである。つまり、2つの永久債の差がｃＮＯキャッシュフローをT年間払う年金型投資商品となる。したがって、この年金型投資商品の現在価値は、2つの永久債の買いの差となる。

年金型投資商品の現在価値（ｐｖ）＝Ｃ[1/Ｒ-1/Ｒ（1+Ｒ）ｔ]

[　]の中の表現は年金現価（ANNUITY FACTOR）を表し、ｔ期間の各期末に1ドルずつ支払いが行われる場合の割引率ｒでの現在価値である。

例えば、寄贈者の考えが揺れ始め、講座を20年間に限って年10万ドル寄付するにはいくら必要かと考えたとすれば、公式を使って計算した答えは、

現在価値（ｐｖ）＝100,000[1/0.10-1/0.10（1.10）20]＝100,000×8.514＝85万1,400ドル

となる。計算機やコンピュータが手元になければ、年金現価表から現価は8.514であることがわかる。

資産　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　支払期日　　　　　　　　　　　　　　現在価値
永久債（1年目に支払い開始）　　　　　　1　　　2・・・ｔ　ｔ+1・・・　　　　　　　　　　　　　Ｃ/ｔ
永久債（ｔ+1年目に支払い開始）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｃ/Ｒ1/（1+ｒ）ｔ）　
1年目からｔ年目まで支払う年金型投資商品　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ/ｒ－（ｃ/ｒ）1/（1+ｒ）ｔ　

年金型投資の公式では、現時点から1期後に最初の支払いがなされると仮定していることを思い出してほしい。もし最初の資金の支払いが直ちに行われるのであれば、各キャッシュフローを1年少ない期間で割り引く必要がある。このため、現在価値は（1+Ｒ）を掛けた値に増加するだろう。例えば、寄贈者が毎年の支払いを20回直ちに開始する準備ができているのなら、現在価値は851,400欠ける.10＝93万6,540ドルとなる。直ちに支払いを開始する年金型投資商品は、期首払年金型投資商品（ANNUITY DUE）として知られている。

計算の簡単化のためには、このような公式を活用できる方途はないか、常に注意しているべきである。例えば、毎年固定金利の得られる年々の支払いの系列が集まるとＴ期末にはいくらになっているかを計算する必要があることもある。この場合、最も簡単なのは、現在価値を計算し、これに（1+Ｒ）Ｔを掛けて将来価値を求めることだ。ここで、寄贈者が仮に10万ドルを評判の良くない大学に与える代わりに毎年これを投資したらどれくらいの富になるかを知りたいとする。そのときの答えは、

将来価値＝ｐｖ×1.1020＝841,400×6.727＝573万ドル

となる。年金の問題は、最初は戸惑うかもしれないが、練習を積めばこれらの問題は一般的には分かりやすいことに気付くだろう。所与の現在価値に対する年金額を年金の公式を使って求める問題の例を二つ示そう。

例1:賃貸料の選択
3年が経過してオフィスビルは完成し、まさに42万ドルで売られようとしている。ここで、このビルを8年契約、固定の年額賃貸料8,000ドルで借りたいといってきた人が現れたとする。この契約終了後にはビルを売ることができる。不動産アドバイザーは、オフィスビルの価格は毎年3％の率で上がっていくだろうと見込んでいる。割引率は5％である。

この申し出は、そのｎｐｖが正のとき、すなわち、ｐｖ（1年目から8年目までの賃貸料）+ｐｖ（8年後の売却収入）が現在の売却収入を越えるときのみ、受け入れるべきである。8年目の期末には、オフィスビルは42万ドル×1.038＝53万2,043ドルで売却できるはずである。この額の現在価値は、532,043/1.058＝36万108ドルとなる。オフィスビルは、現在売却すれば42万ドルで売れるので、売却を遅らせることに伴うコストは、420,000-360,108＝5万9,892ドルとなる。したがって、受け取る予定の8年間の賃貸料収入の現在価値は、少なくともこの費用に等しくなければならない。すなわち、

受け入れ可能な最低賃貸料×[1/0.05-1/(0.05×1.058)]＝59,892ドル
受け入れ可能な最低賃貸料×6.463＝59,892ドル
受け入れ可能な最低賃貸料＝59,892/6.463＝9,267ドル

以上より、8年間、毎年8,000ドルで貸すよりも今オフィスビルを売却した方が良さそうである。

例2：住宅ローン
地域の貯蓄銀行から25万ドルの住宅ローンを借りたとしてみよう。銀行は、30年間、毎月均等額の返済を求めている。このため、25万ドルという現在価値に等しくなる毎月の支払額を求めなければならない。

現在価値＝住宅ローン支払額×360ヶ月の年金現価＝25万ドル
住宅ローン支払額＝25万ドル/360ヶ月の年金現価

ここで、金利を月当たり1％とすると、以下のようになる。

360ヶ月の年金現価＝[1/0.01-1/0.01×（1.01）360]＝97.218
住宅ローン支払額＝250,000/97.218＝2,572ドル

住宅ローンは、割賦償還融資（amortizing loan）の一例である。「割賦償還」というのは、毎月の支払額の一部は利息の支払いに当てられるが、一部は元本の返済に充てられ、融資残高が減ってゆく、という意味である。

下に別の割賦償還融資の例を示した。

年　　　　年初の残高　　　　年末の利払い額　　　　　年末の支払い合計　　　　　融資の償還額　　　　年末残高
1　　　　　1,000,000　　　　　　100,00　　　　　　　　　　　315.47　　　　　　　　　　　215.47　　　　　　　　784.53
2　　　　　　784.53　　　　　　　　78.45　　　　　　　　　　　315.47　　　　　　　　　　　237.02　　　　　　　　547.51
3　　　　　　547.51　　　　　　　　54.75　　　　　　　　　　　315.47　　　　　　　　　　　260.72　　　　　　　　286.79
4　　　　　　286.79　　　　　　　　28.68　　　　　　　　　　　315.47　　　　　　　　　　　286.79　　　　　　　　　　　　0

これは、1,000ドルの4年間の融資であるが、金利は10％で毎年の返済を行ってゆく。融資の返済に必要な毎年の支払額は、315.47ドルである。つまり、1,000ドルを4年の年金現価で割ると315.47になるということである。1年目の期末に1,000ドルの10％の金利、100ドルが課される。したがって、100ドルは金利支払いにとられ、残りの215.47ドルが融資残高を784.53ドルに減らすために使われる。

翌年には残高が減少しているので、金利の支払いも78.45ドルに減少する。このため、315.47-78.45＝237.02ドルが償還に当てられる。融資は加速度的に返済されてゆくので、書く支払額に占める金利支払いの割合は時間の経過とともに着実に減少し、融資残高を減らすために遣われる割合が増加してゆく。4年目の終わりには、ちょうど融資残高をゼロにするよう償還が行われるのである。

成長永久際の価値を求めて

2009-10-31T19:31:09+09:00

次に、寄付を考えている人が急に給与の上昇（おそらく平均年約4％）が考慮されていないことに気付いたとする。このときには、寄贈者は年10万ドルを永久に提供するのではなく、1年目に10万ドル、2年目に1.04×10万ドル、などと提供しなければならなくなる。給与の上昇率をｇとすると、キャッシュフローの系列の現在価値を次のように書ける。

現在価値（ＰＶ）＝Ｃ1/1+ｒ+Ｃ2/（1+ｒ）2+Ｃ3/（1+ｒ）3+・・・
　　　　　　　　　　＝Ｃ1/1+ｒ+Ｃ1（1+ｇ）/(1+r)2+C1(1+g)2/(1+r)3+・・

幸いにもこの等比数列の和を求める簡単な公式がある。ｒがｇより大きいと仮定すれば、この厄介に見える計算は、

成長型永久債の現在価値＝Ｃ1/ｒ-ｇ

と単純化できる。したがって、寄贈者が給与の上昇率に合わせた金額を毎年永久に提供しようと考えるときには、現在準備しなければならない総額は次の通りとなる。

現在価値（ＰＶ）＝Ｃ1/ｒ-ｇ＝100,000/0.10-0.04＝1、666,667ドル

永久債と年金型投資商品

2009-10-31T15:29:53+09:00

現在価値の計算には簡単にするいくつかの簡便法があるので、そのいくつかの例を検討してみよう。

イギリス政府が発行してきた証券の中に、永久債（perpetuity）というものがある。これは、政府に原本の償還義務はないが毎年一定額の利子を永久に払い続ける債権である。永久債の年辺りの収益率は、毎年の約定支払額を現在価値で割った値に等しい。

収益率＝キャッシュフロー/現在価値

ｒ＝Ｃ/ＰＶ

割引率ｒと現金の支払額Ｃが与えられれば、この式を逆に用いて永久債の現在価値が求められることも明らかである。例えば、ある立派な人がビジネススクールにファイナンスの講座を寄付したいと考えたとする。最初の支払いを1年目の年末とし、金利を10％、毎年10万ドルを永久に提供することを目標とすると、現金準備しなければいけない総額は、次のように計算される。

永久債の現在価値＝Ｃ／ｒ＝100,000/0.10＝1,000,000ドル

現在価値及び純現在価値の計算

2009-10-31T12:41:52+09:00

フィスビルのベンチャービジネスに悪いニュースが到来したとしよう。請負業者は、ビルの建設には1年ではなく2年かかるとして、次のような支払計画を求めてきた。

1.手付金12万ドルを直ちに支払う（5万ドル相当の土地代の支払いにも今コミットする必要がある）。
2.1年後に10万ドルを中間払いとして支払う。
3.ビルの引わたしができる2年目の期末に最後の10万ドルを支払う

あなたの不動産アドバイザーは、完成が遅れるにもかかわらず、ビルは完成時には42万ドルの価値があるとしている。

以上によって、次の新しいキャッシュフロー予想の表ができる。

期日　　　　　　　　　ｔ＝0　　　　　　　　　　　　ｔ＝1　　　　　　　　　　　ｔ＝2
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
土地　　　　　　　　　-50,000
建設費用　　　　　-120,000　　　　　　　　　-100,000　　　　　　　-100,000　
ペイオフ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+420,000
合計　　　　　　　　C0=-170,000　　　C1＝-100,000　　　C2＝+320,000
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

金利が5％であれば、純現在価値（NPV）は、次の通りとなる。

NPV＝C0+C1/1+r+C2/(1+ｒ)2
　　　＝-170,000-100,000/1.05+320,000/（1.05）2

幸いにも、あなたのオフィスビル事業についてのニュースはすべてが悪いものではなかった。請負業者は支払いの遅れに応じてくれたので、請負業者の手数料の現在価値は以前より小さくなる。これはペイおるの遅れの一部を相殺するものである。純現在価値は25,011ドルとなる。

現在価値
（0年目）　　　　　　　　　　　　　-170,000ドル
-100,000/1.05　　　　　　　　＝-95,238ドル
+320,000/1.052　　　　　　　＝+290,249ドル
合計＝純現在価値（NPV）＝+25,011ドル

純現在価値が正であるので、投資を進めるべきである。

飢えのような計算を行うためには、計算機のキーを2～3たたけばよいだけだ。しかしながら、現実の問題はもっとずっと複雑であり、財務担当者が現在価値の計算をするためには特別にプログラムされた財務計算用の計算機に使ったり、パーソナル・コンピュータでスプレッドシートを扱うプログラムを利用したりすることが普通である。　

遠い将来ほど割引ファクターが低下する理由-マネーマシンについての考察

2009-10-31T12:04:48+09:00

明日の1ドルが今日の1ドルより価値が低いならば、明後日の1ドルはさらに価値が低くなると考えられるかもしれない。すなわち、割引ファクターDF2は割引ファクターDF1より小さい値とならなければならないと。しかし、各期の金利ｒ1が異なる状況でも必ずそうなるだろうか。

ｒ1を20％、ｒ2を7％にすると、

DF1=1/1.20=0.83

DF＝1/（1.07）2＝0.87

となる。翌々日の1ドルは翌日の1ドルより価値が低いとは限らないように見える。

しかし、この例には何らかの誤りがある。前記のような金利で資金の貸し借りができるなら、誰でも一夜にして大金持ちになれるだろう。このよな「マネーマシン」がどのくらい有効かを検討してみよう。ヘルミオネ・クラフトさんが最初にこの機会に見つけたとしよう。クラフト女史は1年目に20％で1,000ドルを貸し付ける。これだけでも十分魅力的な利益が得られるが、彼女は直ちに間違いなく利益を得られる投資の方法があることに気付く。彼女は、次のように考える。翌年には、さらにあと1年投資できる1,200ドルが得られるだろう。そのときの金利がどれくらいになるかは分からないが、常に資金を自分の当座預金口座にいれ、2年目の期末には1,200ドルを確実に得ることができることは知っている。したがって、彼女が次にやることは、銀行に行き、この1,200ドルの現在価値に当たる資金を借りることである。この現在価値は、7％の金利で

現在価値（PV）＝1200/（1.07）2＝1,048ドル

となる。したがって、クラフト女史は、1,048ドル借りて1,000ドル投資し、48ドルの利益を得られる。これがあまりぴんとこなければ、たくさん借りれば借りるほど、多額の投資ができてより多くの利益を得られるということに注意してほしい。例えば、2,177万8,584ドル借りて2,077万8,584ドル投資すれば、彼女はミリオネアにもなれるだろう。

この話は確かに面白い話ではなるが、もちろん、このような投資機会は現実の資本市場では長続きしない。1年間は20％で資金を受け入れ、2年間については7％で貸してくれる銀行があれば、それは百万ドル長者になりたい小口の投資家や億万長者になりたい百万ドル長者が押しかけて瞬時につぶれてしまうであろう。しかし、この話には二つの教訓がある。一つは、明日の1ドルは明後日の1ドルより価値が低くはなり得ないということ、つまり、1年後の期末に受け取る1ドルの価値（DF1）は2年後の期末に受け取る1ドルの価値（DF）より大きくなければならないということである。1年間よりも2年間貸した方が追加的な利得がなければならない。すなわち、（1+ｒ2）2は、1+ｒ1よりも大きくなければならない。

二つ目の教訓はもっと一般的なもので、「マネーマシンは存在しない」という教訓に要約される。よく機能している資本市場では、いかなる潜在的なマネーマシンもこれを利用しようとする投資家達によってほとんど瞬時に消滅してしまう。したがって、確実にその恩恵にありつくチャンスがあるといっている我流の専門家には用心することが必要である。マネーマシンは、専門用語では裁定（arbirrage）という。十分に機能している資本市場には、裁定機会は存在しない。

このブログの後半では、証券価格に関するいくつかの有用な特性を証明するために裁定機関が存在しないことを援用する。つまり「証券XとYの価格の間には、次のような関係がなければならない---そうでなければ、潜在的な裁定利益が存在することになり、資本市場は均衡にはならないだろう」といった言い方をする。

裁定利益を排除することは、将来の各期間の金利が同じであるということを求めているわけではない。金利とキャッシュフローの満期との関係は、金利の基幹構造（term structure of interest rate）と呼ばれる。基幹構造については次のブログで検討するが、今のところ基幹構造は「フラット」、つまり金利はキャッシュフローの期日にかかわらず一定、としてこの問題をうまく回避しておこう。ということは、現在価値の公式についてもr1,r2・・・rtという金利の系列を一つの金利ｒに置き換え、以下のように書けることになる。

現在価値（PV）＝ｃ1/1+ｒ+C2/(1+r)2

数期間にわたるキャッシュフローの評価

2009-10-31T10:48:33+09:00

現在価値が優れている点の一つは、すべてが現在のドル表示になっているということである。このため、加算できる。つまり、キャッシュフローA+Bの現在価値は、キャッシュフローAの現在価値にキャッシュフローBの現在価値を加えたものに等しい。1年目に100ドルの、さらに2年目には200ドルのキャッシュフローを生み出す投資機会を提示された場合を例としてみよう。1年目の金利は7％であり、2年物の金利は7.7％である。図3.1は、1年目のキャッシュフローの現在の価値がC1/(1+r)＝100/1.07＝93.46ドルであることと、2年目のキャッシュフローの価値はC2/(1+r2)2＝200/1.0772＝172.42ドルであることを示している。現在価値の加算に関する我々のルールに従えば、この投資の現在価値の合計は、次のようになる。

現在価値（PV）＝C1/1+r1+C2/(1+r2)2=100/1.07+200/1.0772=265.88ドル

将来にわたるキャッシュfづローについて、この加法性のルールを次々に適用してゆくことができるので、割引キャッシュフロー（discounted cash fiow ;DCF）の公式と呼ばれる次の式が得られる。

現在価値（PV）＝ｃ1/1+ｒ1+C2/(1+r2)2+C3/(1+r3)3+・・

これを簡略に表現すると、

現在価値（PV）＝∑Ct/(1+rt)t

となる。ここで、Σは数列の和を表す。純現在価値（NPV）を求めるためには、第2章での計算と同様、（通常は負の）当初のキャッシュフローを加えればよい。

純現在価値（NPV）＝C0+PV=C0+ΣCt/(1+rt)ｔ

長期資産の評価

2009-10-31T02:59:28+09:00

いまから1年後のキャッシュフロー（C1）を生み出す資産の現在価値（PV）の求め方を覚えているだろうか。

現在価値（PV）＝DF1×C1＝C1/1;r1

1年目のキャッシュフローの割引ファクターはDF1であり、r1は資金を1年間投資することの機会費用である。ここで、翌年100ドルの確実なキャッシュフロー（C1=100）を受け取ることとなっており、1年物の米国財務省証券の金利が7％（ｒ1＝0.07）とすると、その現在価値は、次のようになる。

現在価値（PV）＝C1/1+r1＝93.46ドル

現時点から2年後のキャッシュフローの現在価値も、同様に次の式で求められる。

現在価値（PV）＝DF2×C2＝C2/(1+r2)2

C2は2年目のキャッシュフローであり、DF2は2年目のキャッシュフローの割引ファクター、ｒ2は資金を2年間投資するときの年あたりの金利である。ここで、2年目に200ドルのキャッシュフロー(C2=200)が得られ、2年物の財務省証券の年利を7.7％（ｒ2＝0.077）とする。つまり、2年物の証券に1ドル投資すると、2年目の終わりには1.077２＝1.16ドルとなるということである。2年目のキャッシュフローの現在価値は、次のようになる。

現在価値（PV）＝C2/(1+r2)2=200/(1.077)2＝172.42ドル

最初に

2009-10-31T02:57:07+09:00

現在価値・企業の目的とコーポレートガバナンスでは、いまからちょうど1年後に現金を生み出す資産の価値の求め方を学んだ。しかし、現時点から2年後もしくは数年後に現金を生み出す資産の価値の求め方は説明していないので、これがこのブログにおける最初の課題である。そして、現在価値算出の簡便法と特別な場合の現在価値算出の公式のいくつかを見ていく。特に、一定金額の支払いが永久に得られる投資（永久債：perpetuity）と、一定金額の支払いが特定の期間得られる投資（年金型投資商品：annuity）の価値の算出法を示す。また、支払額が増加してゆく投資についても検討する。

金利という用語は自明のようだが、さまざまに定義できる。はじめに、複利と単利の違いを説明し、次に名目金利と実質金利の違いを考える。この違いは、利子所得の購買力がインフレーションによって減少するために生じるものである。

その頃までには、現在価値を学ぶために行ってきた知的投資に対する利益を得られるようjになっているだろうから、次の章では、債権と株式にこの新しいツールを適用してみよう。そのあとで、企業の資本投資の決定について実践に使えるくらい詳細に取り組むこととする。

簡単化のため、このブログでのすべての問題はドルで説明されるが、概念や計算はユーロでも円でも、そのほかの通貨でも同じでことである。