年金型投資商品（annuity）とは、特定の期間、毎年一定額の支払いが行われる資産である。定額返済の住宅ローン債権や割賦契約は、よくみられる年金型投資商品の例である。

年金型投資商品の価値を求める簡単な工夫を表している。第一番目の行は1年目から始まって毎年Ｃキャッシュフローを生む永久債を表す。その現在価値は、

現在価値（ＰＶ）＝Ｃ/ｒ

となる。

2番目の行は、ｔ+1年目から始まって毎年Ｃのキャッシュフローをもたらす2つ目の永久債を表わす。ｔ年目の現在価値がｃ/ｒとなるので、この投資商品の今日の時点の現在価値は、

現在価値（ｐｖ）＝Ｃ/ｒ（1）+ｒ）ｔ

となる。どちらの永久債にもT+1年目以降のキャッシュフローがある。2つの永久債の唯一の違いは、1番目のものには1年目からＴ年目までのキャッシュフローもあることである。つまり、2つの永久債の差がｃＮＯキャッシュフローをT年間払う年金型投資商品となる。したがって、この年金型投資商品の現在価値は、2つの永久債の買いの差となる。

年金型投資商品の現在価値（ｐｖ）＝Ｃ[1/Ｒ-1/Ｒ（1+Ｒ）ｔ]

[　]の中の表現は年金現価（ANNUITY FACTOR）を表し、ｔ期間の各期末に1ドルずつ支払いが行われる場合の割引率ｒでの現在価値である。

例えば、寄贈者の考えが揺れ始め、講座を20年間に限って年10万ドル寄付するにはいくら必要かと考えたとすれば、公式を使って計算した答えは、

現在価値（ｐｖ）＝100,000[1/0.10-1/0.10（1.10）20]＝100,000×8.514＝85万1,400ドル

となる。計算機やコンピュータが手元になければ、年金現価表から現価は8.514であることがわかる。



資産　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　支払期日　　　　　　　　　　　　　　現在価値
永久債（1年目に支払い開始）　　　　　　1　　　2・・・ｔ　ｔ+1・・・　　　　　　　　　　　　　Ｃ/ｔ
永久債（ｔ+1年目に支払い開始）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｃ/Ｒ1/（1+ｒ）ｔ）　
1年目からｔ年目まで支払う年金型投資商品　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ/ｒ－（ｃ/ｒ）1/（1+ｒ）ｔ　



年金型投資の公式では、現時点から1期後に最初の支払いがなされると仮定していることを思い出してほしい。もし最初の資金の支払いが直ちに行われるのであれば、各キャッシュフローを1年少ない期間で割り引く必要がある。このため、現在価値は（1+Ｒ）を掛けた値に増加するだろう。例えば、寄贈者が毎年の支払いを20回直ちに開始する準備ができているのなら、現在価値は851,400欠ける.10＝93万6,540ドルとなる。直ちに支払いを開始する年金型投資商品は、期首払年金型投資商品（ANNUITY DUE）として知られている。

計算の簡単化のためには、このような公式を活用できる方途はないか、常に注意しているべきである。例えば、毎年固定金利の得られる年々の支払いの系列が集まるとＴ期末にはいくらになっているかを計算する必要があることもある。この場合、最も簡単なのは、現在価値を計算し、これに（1+Ｒ）Ｔを掛けて将来価値を求めることだ。ここで、寄贈者が仮に10万ドルを評判の良くない大学に与える代わりに毎年これを投資したらどれくらいの富になるかを知りたいとする。そのときの答えは、

将来価値＝ｐｖ×1.1020＝841,400×6.727＝573万ドル

となる。年金の問題は、最初は戸惑うかもしれないが、練習を積めばこれらの問題は一般的には分かりやすいことに気付くだろう。所与の現在価値に対する年金額を年金の公式を使って求める問題の例を二つ示そう。

例1:賃貸料の選択
3年が経過してオフィスビルは完成し、まさに42万ドルで売られようとしている。ここで、このビルを8年契約、固定の年額賃貸料8,000ドルで借りたいといってきた人が現れたとする。この契約終了後にはビルを売ることができる。不動産アドバイザーは、オフィスビルの価格は毎年3％の率で上がっていくだろうと見込んでいる。割引率は5％である。

この申し出は、そのｎｐｖが正のとき、すなわち、ｐｖ（1年目から8年目までの賃貸料）+ｐｖ（8年後の売却収入）が現在の売却収入を越えるときのみ、受け入れるべきである。8年目の期末には、オフィスビルは42万ドル×1.038＝53万2,043ドルで売却できるはずである。この額の現在価値は、532,043/1.058＝36万108ドルとなる。オフィスビルは、現在売却すれば42万ドルで売れるので、売却を遅らせることに伴うコストは、420,000-360,108＝5万9,892ドルとなる。したがって、受け取る予定の8年間の賃貸料収入の現在価値は、少なくともこの費用に等しくなければならない。すなわち、

受け入れ可能な最低賃貸料×[1/0.05-1/(0.05×1.058)]＝59,892ドル
受け入れ可能な最低賃貸料×6.463＝59,892ドル
受け入れ可能な最低賃貸料＝59,892/6.463＝9,267ドル

以上より、8年間、毎年8,000ドルで貸すよりも今オフィスビルを売却した方が良さそうである。

例2：住宅ローン
地域の貯蓄銀行から25万ドルの住宅ローンを借りたとしてみよう。銀行は、30年間、毎月均等額の返済を求めている。このため、25万ドルという現在価値に等しくなる毎月の支払額を求めなければならない。

現在価値＝住宅ローン支払額×360ヶ月の年金現価＝25万ドル
住宅ローン支払額＝25万ドル/360ヶ月の年金現価

ここで、金利を月当たり1％とすると、以下のようになる。

360ヶ月の年金現価＝[1/0.01-1/0.01×（1.01）360]＝97.218
住宅ローン支払額＝250,000/97.218＝2,572ドル

住宅ローンは、割賦償還融資（amortizing loan）の一例である。「割賦償還」というのは、毎月の支払額の一部は利息の支払いに当てられるが、一部は元本の返済に充てられ、融資残高が減ってゆく、という意味である。

下に別の割賦償還融資の例を示した。

年　　　　年初の残高　　　　年末の利払い額　　　　　年末の支払い合計　　　　　融資の償還額　　　　年末残高
1　　　　　1,000,000　　　　　　100,00　　　　　　　　　　　315.47　　　　　　　　　　　215.47　　　　　　　　784.53
2　　　　　　784.53　　　　　　　　78.45　　　　　　　　　　　315.47　　　　　　　　　　　237.02　　　　　　　　547.51
3　　　　　　547.51　　　　　　　　54.75　　　　　　　　　　　315.47　　　　　　　　　　　260.72　　　　　　　　286.79
4　　　　　　286.79　　　　　　　　28.68　　　　　　　　　　　315.47　　　　　　　　　　　286.79　　　　　　　　　　　　0

これは、1,000ドルの4年間の融資であるが、金利は10％で毎年の返済を行ってゆく。融資の返済に必要な毎年の支払額は、315.47ドルである。つまり、1,000ドルを4年の年金現価で割ると315.47になるということである。1年目の期末に1,000ドルの10％の金利、100ドルが課される。したがって、100ドルは金利支払いにとられ、残りの215.47ドルが融資残高を784.53ドルに減らすために使われる。

翌年には残高が減少しているので、金利の支払いも78.45ドルに減少する。このため、315.47-78.45＝237.02ドルが償還に当てられる。融資は加速度的に返済されてゆくので、書く支払額に占める金利支払いの割合は時間の経過とともに着実に減少し、融資残高を減らすために遣われる割合が増加してゆく。4年目の終わりには、ちょうど融資残高をゼロにするよう償還が行われるのである。